☛ Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, déterminer une équation cartésienne du plan \(P\) passant par le point \(\text A(1~;~2~;~3)\) et de vecteur norma l  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\) .

Solution

Première méthode
\(P\)  a pour vecteur norm al   \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\) , donc une équation cartésienne de  \(P\)  est de la forme  \(4x+5y+6z+d=0\) .
\(\text A(1~;~2~;~3)\in P\)  donc  \(4\times 1+5\times 2+6\times 3+d=0 \Leftrightarrow 32+d=0 \Leftrightarrow d=-32\) .
Conclusion :  \(P\)  a pour équation cartésienne \(4x+5y+6z-32=0\) .

Deuxième méthode

\(\text M(x~;~y~;~z) \in P \Leftrightarrow \overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow n = 0\)

\(\text M(x~;~y~;~z)\in P \Leftrightarrow (x-1)\times 4+(y-2)\times 5+(z-3)\times 6 = 0\)

\(\text M(x~;~y~;~z)\in P \Leftrightarrow 4x-4+5y-10+6z-18 =0\)

\(\text M(x~;~y~;~z) \in P \Leftrightarrow 4x+5y+6z-32=0\) .